Como sabedes algunhas e algúns, o número `pi` é irracional, o que significa que as súas cifras decimais son infinitas, pero non son periódicas: continúan sen parar ata o infinito pero sen repetirse de ningunha forma. Con outras palabras: non se coñece unha maneira de reproducir a secuencia das cifras decimais a menos que se calcule cada unha delas. E como se poden calcular estas cifras? Aqui tedes algunhas das fórmulas:
- No século XV na escola de Kerala (India), Madhava e os seus discípulos obtiveron a primeira fórmula exacta para calcular o número `pi`, que implicaba simar e restar fraccións feitas co 4 e os números impares:
`pi = 4-4/3 +4/5-4/7+4/9-4/11...` ou o que é o mesmo `pi = 4 cdot sum_(n=o)^oo {(-1)^n}/{2n+1}`
Uns anos despois, en 1674, Leibnitz (Inglaterra) obtivo a mesma serie, pero quedou coa fama de ser o primeiro descubridor.
Se probades a calcular o resultado desta suma usando 20 ou mais fraccións da serie, veredes que o resultado non se parece moito a `pi`. Isto é porque se necesitan sumar centos de fraccións para calcular uns poucos decimales correctamente: a fórmula é bonita pero pouco práctica
- En 1665, o inglés John Wallis descobre o produto infinito:`pi = 2 cdot 2/1 2/3 cdot 4/3 4/5 cdot 6/5 6/7 cdot 8/7 8/9 ...` ou tamén `pi = 2 cdot prod_(n=1)^oo {2n}/{2n-1}cdot{2n}/{2n+1}`
O problema desta fórmula é o mesmo que a anterior: se necesitan unha enorme cantidade de cálculos (a man ou a máquina) para sacar uns poucos decimais exactos do número (dise que é un algoritmo de converxencia lenta).
- Unha das fórmulas que os ordenadores usan para obter millóns de decimais do número `pi` é a descuberta por Srinivasa Ramanujan en 1914:`1/pi={2 sqrt 2}/9801 sum_(n=0)^oo {(4n)! cdot (1103+26390n)}/{(n!)^4 396^{4n}`
Con esta fórmula Gosper obtivo 17 526 200 decimais en 1985. Dicimos fórmula descuberta por Ramanujan porque este matemático hindú do século XX inventou moitas fórmulas sen aparentemente facer cálculos: saíanlle da cabeza non se sabe como!!
Para saber mais:
No hay comentarios:
Publicar un comentario