Facendo "doodles" na clase de matemáticas: árbores binarios

Un "doodle" ou garabato é un debuxo que unha persoa fai mentres ten a súa atención centrada en outra cousa. Non parece haber unha palabra equivalente en galego ou castelán, polo que de momento usaremos o termo inglés tamén nas nosas linguas. Os doodles poden ser debuxos que representen algo concreto, ou simplemente patróns abstractos.

Unha situación típica na que se fan os doodles é durante as chamadas telefónicas, cando temos a man un lapis e un papel. Pero onde realmente abundan é nos cadernos escolares dos estudantes de todas as idades, debuxados por alumnas e alumnos distraídos ou que non teñen interese polas clases. Hoxe mesmo vin como un alumno meu iba repasando con boligrafo toda a trama cuadriculada dunha páxina do seu caderno. Como este deseño me pareceu moi pobre, prometinlle que iba a publicar un video onde podería aprender a facer debuxos mais bonitos (e con contido matemático).

Descubrín este concepto visitando o blogue dunha matemática norteamericana chamada Vi Hart, que publicou varios videos facendo sinxelos garabatos no papel con un grande significado matemático. O que mais me gustou é este, no que explica e constrúe uns debuxos chamados árbores binarios. O video está en inglés e outro día farei unha traducción ou lle poño uns subtítulos. De todas maneiras, para ver como se fan os debuxos non fai falla entender todo:



Outros doodles desta autora inclúen estrelas, serpes e grafos, elefantes infinitos e números pirados.

Para saber mais:

• Os doodles de Vi Hart
• A definición de "doodle" na wikipedia
• Un tutorial para facer doodles preciosos (PDF, 1,4 Mb)

Matemaxia co cuadrado dunha suma

Arthur Benjamin fai matemaxia nesta entretida actuación do ano 2005 en TED. Este matemago consegue atrapar á audiencia calculando o resultado de elevar números ao cuadrado, cousa que ten moitísimo mérito, porque é un cálculo bastante aburrido.
[NOTAS: Recoméndase buscar unha calculadora para ver a actuación; o video está en inglés pero se lle poden poñer subtítulos en spanish]



Pero, como o fai? Pois con moito entrenamento, unha gran capacidade para o cálculo mental, e unha fórmula alxébrica que non é ningún segredo: os productos notables. O alumnado de 3º da ESO debe manexar esta fórmula con soltura, así que non estamos falando de algo complicadísimo. Trátase da identidade do cuadrado dunha suma:

`(a+b)^2=a^2+2 cdot a cdot b+b^2`

Xa, pero, como se pode usar para obter o cuadrado de números grandes? Pois a idea é descompoñer un número como `73` na suma de `70+3` e entón teremos que `73^2=(70+3)^2`
Agora usamos a identidade para transformala nunha suma mais sinxela. Con un pouco de entrenamento poderíamos facelo mentalmente e con rapidez:
`73^2=(70+3)^2=70^2+2 cdot 70 cdot 3+3^2=4900+420+9=5329`
A identidade do cuadrado dunha suma garante que isto funcione sempre con calquera número:
`49^2=(40+9)^2=40^2+2 cdot 40 cdot 9 +9^2=1600+720+81=2401
Aqueles e aquelas que mais sabedes podedes atrevervos a facer este último cálculo usando outra identidade distinta: o cuadrado dunha resta:

`(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2`

Sabendo que `49 = 50 -1` entón:
`49^2=(50-1)^2=50^2-2 cdot 50 cdot 1 +1^2=2500-100+1=2401`
É mais fácil aínda!!
E para rematar, a opinión que ten Arthur Benjamin sobre o que se debe ensinar nas clases de matemáticas:
[NOTA: o video está en inglés pero se lle poden poñer subtítulos en galician!]

Falemos do tamaño ...

Cóstanos un puco visualizar o que é unha cantidade astronómica. Nin poñendo moitos ceros nin axudándonos cos expoñentes da notación científica nos collen na cabeza os tamaños astronómicos. Por iso é interesante esta simulación ou representación gráfica sobre o tamaño relativo dos principais astros do Sistema Solar e algunhas estrelas alleas a él.



Para saber mais:

• Antares, a estrela máis brillante da constelación de Escorpión.

Como se poden calcular os decimais de `pi`

Como sabedes algunhas e algúns, o número `pi` é irracional, o que significa que as súas cifras decimais son infinitas, pero non son periódicas: continúan sen parar ata o infinito pero sen repetirse de ningunha forma. Con outras palabras: non se coñece unha maneira de reproducir a secuencia das cifras decimais a menos que se calcule cada unha delas. E como se poden calcular estas cifras? Aqui tedes algunhas das fórmulas:

• No século XV na escola de  Kerala (India), Madhava e os seus discípulos obtiveron a primeira fórmula exacta para calcular o número `pi`, que implicaba simar e restar fraccións feitas co 4 e os números impares:
  `pi = 4-4/3 +4/5-4/7+4/9-4/11...` ou o que é o mesmo `pi = 4 cdot sum_(n=o)^oo {(-1)^n}/{2n+1}`
  Uns anos despois, en 1674, Leibnitz (Inglaterra) obtivo a mesma serie, pero quedou coa fama de ser o primeiro descubridor.
  Se probades a calcular o resultado desta suma usando 20 ou mais fraccións da serie, veredes que o resultado non se parece moito a `pi`. Isto é porque se necesitan sumar centos de fraccións para calcular uns poucos decimales correctamente: a fórmula é bonita pero pouco práctica
• En 1665, o inglés John Wallis descobre o produto infinito:`pi = 2 cdot 2/1 2/3 cdot 4/3 4/5 cdot 6/5 6/7 cdot 8/7 8/9 ...` ou tamén `pi = 2 cdot prod_(n=1)^oo {2n}/{2n-1}cdot{2n}/{2n+1}`
  O problema desta fórmula é o mesmo que a anterior: se necesitan unha enorme cantidade de cálculos (a man ou a máquina) para sacar uns poucos decimais exactos do número (dise que é un algoritmo de converxencia lenta).
• Unha das fórmulas que os ordenadores usan para obter millóns de decimais do número `pi` é a descuberta por Srinivasa Ramanujan en 1914:`1/pi={2 sqrt 2}/9801 sum_(n=0)^oo {(4n)! cdot (1103+26390n)}/{(n!)^4 396^{4n}`
  Con esta fórmula Gosper obtivo 17 526 200 decimais en 1985. Dicimos fórmula descuberta por Ramanujan porque este matemático hindú do século XX inventou moitas fórmulas sen aparentemente facer cálculos: saíanlle da cabeza non se sabe como!!

Para saber mais:

• Historia do cálculo de `pi`
• Información xenérica do número `pi` en Wolfram Alpha
• O póster xigante de `pi` con 350 390 cifras decimais
• A dura e impresionante historia da vida de Srinivasa Ramanujan

315 veces máis información que grans de area

O xornal El Pais publica uha referencia sobre un estudio sobre a cantidade de información dixital que hai na actualidade. A conclusión á que chegan os investigadores é que hoxendía se poden almacenar alomenos 295 trillóns de bytes, ou exabytes (un byte é unha tira de 8 bits, como por exemplo 10010110). Recordemos que 295 trillóns de bytes son`29500000000000000000000` bytes`= 2.95 cdot 10^20` bytes `= 295` exabytes`
Para que nos fagamos unha idea: din os investigadores que esta cantidade é aproximadamente 315 veces o número de grans de area que hai na Terra, pero que é 100 veces mais pequena que a cantidade de información que almacena o ADN humano.

Outra cifra impresionante do estudo son que os ordenadores nese ano computaron 6,4 trillóns de instrucións por segundo`= 6.4 cdot 10^18  IPS= 6.4 cdot 10^12  MIPS`, o que equivale en orden de magnitude ao número de impulsos nerviosos executados por un só cerebro humano: como ben deducen en microsiervos, todos os ordenadores do planeta veñen a contar, mais ou menos, como o cerebro dunha persoa.
Para saber mais:

• Artigo en Popular Science (inglés)

Probando código matemático

Acabo de instalar no blogue o script ASCIIMathML, que permite inserir linguaxe matemática nunha páxina web. Estes son alguns exemplos de mostra:

• A expresión dunha función usando o polinomio de Taylor (que tempos!): `f(x)=sum_(n=0)^oo(f^((n))(a))/(n!)(x-a)^n`
• O módulo dun vector, xogando con subíndices e expoñentes: `|vec u| = |(u_1,u_2)|= sqrt {u_1^2+u_2^2}`
• Radicais:`sqrt sqrt root3x`
• Definición de derivada (para o bacharelato): $\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
• Unha integral (hai un chiste no video de Goldi sobre almorzar integrais): `int_0^1f(x)dx`

Que diferencia o aspecto co que tiñamos antes!
Se non podes ver correctamente os símbolos matemáticos e só ves un texto como

• Radicais: sqrt sqrt root3x

entón o teu navegador non soporta as librerias que usamos: deixa o Internet Explorer e instala dunha vez o Mozilla Firefox! (nota: tampouco funciona todavía con Google Chrome ou calquera navegador baseado en WebKit)

Chocomates con Goldi

A Facultade de Matemáticas de Santiago organizou no pasado unhas xornadas de "divulgación" matemática na que participaba alumnado de institutos de secundaria de Galicia. Entre as diversas intervencións que se fixeron paga a pena destacar a do actor César Goldi co seu monólogo sobre a nosa vida rodeada de matemáticas, que moita gracia vos fai cando a vedes por primeira vez. A actuación está dividida en parte 1 e parte 2

Lamentablemente, a actividade de chocomates non se volveu a repetir, polo que non poderemos visitar (de momento) a Facultade de Matemáticas para tomar unha chocolatada rodeada de números.

Os conxuntos fractais de Julia e as raices de números negativos

Unha imaxe ampliada do Conxunto de Mandelbrot

Temos falado moito arredor da imposibilidade de calcular numéricamente as raices de números negativos, como `sqrt {-1}`. Tamén vos contei como as Matemáticas resolveron o problema usando vectores do plano en vez de números. E en 4º da ESO quedamos ás portas de poder operar cos vectores como para facer este tipo de raices, aínda que teredes que seguir estudiando para zanxar o problema.

Deixovos aquí unha ligazón a unha ferramenta de Google para navegar polos conxuntos fractais de Gastón Julia e Benoît Mandelbrot.

Gracias ao software Julia Map, podemos bucear por distintos conxuntos fractais coa potencia de cálculo dos servidores de Google, e obter imaxes de grande beleza como as que adornan esta anotación. O mais espectacular, sen dúbida, é o Conxunto de Mandelbrot, obtido a partir dunha representación gráfica construida a partir da sinxela función `f(z)= z^2+c` para certo tipo de vectores (que son os números complexos ou imaxinarios)

O Conxunto de Mandelbrot, visto en http://juliamap.googlelabs.com

E que ten que ver isto coas raices negativas? Que precisamente en estas representacións gráficas que son os fractais, é imprescindible usar cálculos coas raices de números negativos, que como xa dixen no primeiro párrafo, son unha forma especial de vectores do plano.